13303. Из отрезков, равных 3, 5, 7 и 9, составлен четырёхугольник, в который вписана окружность. К ней проведены две касательные: одна пересекает одну пару соседних сторон четырёхугольника, а другая — пару оставшихся. Найдите модуль разности периметров треугольников, отсечённых от четырёхугольника этими касательными.
Ответ. 4 или 8.
Решение. Поскольку в рассматриваемый четырёхугольник вписана окружность, суммы его противоположных сторон равны, поэтому последовательные стороны четырёхугольника ABCD
— это: AB=5
, BC=3
, CD=7
и DA=9
.
Пусть одна касательная пересекает соседние стороны AB
и AD
, а вторая — соседние стороны BC
и CD
. Обозначим через x
— расстояния от вершины B
до точек касания окружности со сторонами AB
и BC
, через y
— расстояния от вершины D
до точек касания окружности со сторонами CD
и DA
, а полупериметры отсечённых треугольников с вершинами A
и C
— p_{1}
и p_{2}
соответственно.
Поскольку расстояния от вершины A
до точек касания окружности со сторонами AB
и DA
равно полупериметру отсечённого треугольника (см. задачу 1750), получаем
|2p_{1}-2p_{2}|=|(AB-x)+(AD-y)-(BC-x)-(CD-y)|=|AB+AD-BC-CD|=|14-10|=4.
Если одна касательная пересекает соседние стороны AB
и BC
, а вторая — соседние стороны CD
и DA
, то аналогично получим, что модуль разности отсечённых треугольников равен 8.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — тренировочные задачи, № 6, вариант 5, 8-9 классы
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2018). — М.: МЦНМО, 2019. — с. 119