13306. Найдите наименьшее значение параметра a
, при котором уравнение
\sqrt{(x+8)^{2}+(x+2)^{2}}+\sqrt{(x+14)^{2}+(x+3)^{2}}=13a
имеет хотя бы одно решение.
Ответ. a=1
.
Решение. Первый способ. На координатной плоскости xOy
рассмотрим фиксированные точки A(-8;-2)
, B(-14;-3)
и произвольную точку M(x;x)
. Заметим, что левая часть данного уравнения — сумма расстояний от точки M
, лежащей на прямой y=x
, до точек A
и B
, лежащих по одну сторону от этой прямой. Эта сумма минимальна в случае, когда M
совпадает с точкой M_{0}
пересечения прямой y=x
и отрезка BA'
, где A'(-2;-8)
— точка, симметричная точке A
относительно прямой y=x
(см. задачу 5004). По формуле расстояния между двумя точками находим, что эта минимальная сумма равна
AM_{0}+BM_{0}=A'M_{0}+BM_{0}=BA'=\sqrt{(-2+14)^{2}+(-8+3)^{2}}=
=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13.
Таким образом, наименьшее a
, при котором данное уравнение имеет решение, находится из равенства 13a=13
. Следовательно, a=1
.
Второй способ. Рассмотрим векторы \overrightarrow{p}=(x+8;-x-2)
и \overrightarrow{q}=(-x-3;x+14)
. Поскольку \overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}=(5;12)
, то
|\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}|=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13,
а так как
|\overrightarrow{p}|=\sqrt{(x+8)^{2}+(x+2)^{2}}~\mbox{и}~|\overrightarrow{q}|=\sqrt{(x+3)^{2}+(x+14)^{2}},
то
13=|\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}|\leqslant|\overrightarrow{p}|+|\overrightarrow{q}|=\sqrt{(x+8)^{2}+(x+2)^{2}}+\sqrt{(x+3)^{2}+(x+14^{2})},
причём равенство достигается только в случае, когда векторы \overrightarrow{p}
и \overrightarrow{q}
сонаправлены, т. е. когда
\frac{x+8}{-x-3}=\frac{-x-2}{x+14}\gt0.
откуда находим, что x=-\frac{106}{17}
. (Заметим, что при x=-3
и при x=-14
векторы \overrightarrow{p}
и \overrightarrow{q}
не являются сонаправленными.)
Таким образом, наименьшее a
, при котором данное уравнение имеет решение, находится из равенства 13a=13
. Следовательно, a=1
.