13316. В окружности проведены две взаимно перпендикулярные хорды AB
и CD
. Найдите расстояние между серединой отрезка AD
и прямой BC
, если AC=6
, BC=5
, BD=3
.
Ответ. 2+\sqrt{5}
.
Решение. Пусть AC=a
, BC=b
, BD=c
, N
— точка пересечения хорд, M
— середина AD
, H
— точка пересечения прямых MN
и BC
. Тогда MH\perp BC
(см. примечание к задаче 369).
Обозначим AN=x
, NB=y
, CN=z
, ND=t
.
Диагонали четырёхугольника ACBD
перпендикулярны, поэтому суммы квадратов его противоположных сторон равны (см. задачу 1344), т. е. AC^{2}+BD^{2}=BC^{2}+AD^{2}
, откуда
AD^{2}=AC^{2}+BD^{2}-BC^{2}=a^{2}+c^{2}-b^{2}.
Кроме того,
S_{\triangle BNC}=\frac{1}{2}yz=\frac{1}{2}b\cdot NH~\Rightarrow~NH=\frac{yz}{b}.
Поскольку \angle ACD=\angle ABD
, треугольник BND
подобен треугольнику CNA
. Аналогично, треугольник BNC
подобен треугольнику DNA
, поэтому
\frac{y}{z}=\frac{t}{x}=\frac{c}{a}~\mbox{и}~\frac{z}{x}=\frac{y}{t}=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+c^{2}-b^{2}}}~\Rightarrow
\Rightarrow~z=\frac{bx}{\sqrt{a^{2}+c^{2}-b^{2}}}~\mbox{и}~y=\frac{cz}{a}=\frac{bcx}{a\sqrt{a^{2}+c^{2}-b^{2}}}.
По теореме Пифагора из треугольника BNC
получаем y^{2}+z^{2}=b^{2}
, или
\frac{b^{2}c^{2}x^{2}}{a^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})}+\frac{b^{2}x^{2}}{a^{2}+c^{2}-b^{2}}=b^{2}~\Rightarrow
\Rightarrow~x^{2}=\frac{a^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})}{a^{2}+c^{2}}~\Rightarrow
\Rightarrow~NH=\frac{yz}{b}=\frac{bcx}{a\sqrt{a^{2}+c^{2}-b^{2}}}\cdot\frac{bx}{b\sqrt{a^{2}+c^{2}-b^{2}}}=\frac{bcx^{2}}{a(a^{2}+c^{2}-b^{2})}=
=\frac{bc}{a\sqrt{a^{2}+c^{2}-b^{2}}}\cdot\frac{a^{2}(a^{2}+c^{2}-b^{2})}{a^{2}+c^{2}}=\frac{abc}{a^{2}+c^{2}}.
Следовательно,
MH=MN+NH=\frac{1}{2}AD+NH=\frac{1}{2}\sqrt{a^{2}+c^{2}-b^{2}}+\frac{abc}{a^2+c^2}=
=\frac{1}{2}\sqrt{36+9-25}+\frac{6\cdot5\cdot3}{36+9}=\sqrt{5}+2.
Источник: Математическая олимпиада МГУ «Ломоносов». — тренировочные задачи, № 4, вариант 10, 10-11 классы
Источник: Бегунц А. В., Бородин П. А. и др. Олимпиада школьников «Ломоносов» по математике (2005—2018). — М.: МЦНМО, 2019. — с. 128