13336. На сторонах AC
и BC
треугольника ABC
построены квадраты AKLC
и BCMN
. Докажите, что описанные около них окружности пересекаются на окружности с диаметром AB
, и центры этих трёх окружностей — вершины равнобедренного прямоугольного треугольника.
Указание. См. задачу 1062.
Решение. Пусть P
и Q
— центры соответственно первого и второго квадратов. Рассмотрим случай, когда квадраты расположены вне треугольника ABC
. Тогда равнобедренные прямоугольные треугольники APC
и BQC
удовлетворяют условию задачи 1062 для \beta=45^{\circ}
. Значит, если K
— середина стороны AB
, то
KP=KQ,~\angle PKQ=180^{\circ}-2\beta=180^{\circ}-2\cdot45^{\circ}=90^{\circ}.
Следовательно, треугольник PKQ
равнобедренный и прямоугольный.
Пусть D
— точка пересечения описанных окружностей квадратов. Тогда
\angle ADC=2\angle KPL=3\cdot45^{\circ}=135^{\circ},~\angle BDC=2\angle MQN=3\cdot45^{\circ}=135^{\circ},
поэтому
\angle ADB=360^{\circ}-\angle ADC-\angle ADC=360^{\circ}-135^{\circ}-135^{\circ}=90^{\circ}.
Следовательно, точка D
лежит на окружности с диаметром AB
.
Источник: Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. Л. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — задача № 1, с. 82