1334. Пусть H
— точка пересечения высот треугольника ABC
. Докажите, что расстояние между серединами отрезков BC
и AH
равно радиусу описанной окружности треугольника ABC
.
Указание. Расстояние от точки пересечения высот треугольника до его вершины вдвое больше расстояния от центра описанной окружности до противолежащей стороны (см. задачу 1257).
Решение. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, M
и N
— середины отрезков AH
и BC
соответственно. Докажем сначала, что AM=ON
. Для этого соединим точку M
с серединой K
отрезка BH
, а точку N
— с серединой L
отрезка AC
. Тогда MK
и NL
— средние линии треугольников ABH
и ABC
, поэтому MK=NL
и MK\parallel NL
, а так как HM\parallel ON
и HK\parallel OL
, то треугольники MHK
и NOL
равны по стороне и прилежащим к ней углам. Следовательно, ON=HM=AM
.
Поскольку ON=AM
и ON\parallel AM
, то четырёхугольник AMNO
— параллелограмм. Значит, MN=OA
. Осталось заметить, что OA
— радиус описанной окружности треугольника ABC
.
