13341. Дан параллелограмм ABCD
, точка M
— середина стороны BC
. На стороне AD
нашлась такая точка K
, что BK=BM
и четырёхугольник KBMD
вписанный.
а) Чему равна длина отрезка MD
, если AD=17
?
б) Сколько градусов составляет угол KMD
, если \angle BAD=46^{\circ}
?
Ответ. а) 8,5; б) 48^{\circ}
.
Решение. а) Четырёхугольник KBMD
— вписанная трапеция, поэтому она равнобокая, MD=BK
. Следовательно,
MD=BK=BM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD=8{,}5.
б) Обозначим \angle ADB=\alpha
. Поскольку MD=MB=MC
, угол BDC
прямой (см. задачу 1188), а так как AB\parallel CD
, то угол ABD
тоже прямой. Значит,
\angle BAD=90^{\circ}-\angle ADB,~\mbox{или}~46^{\circ}=90^{\circ}-\alpha,
откуда \alpha=44^{\circ}
.
Из параллельности BC
и AD
, равнобедренной трапеции KBMD
и равнобедренного треугольника BMD
получаем, что
\angle BMK=\angle DBM=\angle ADB=\alpha,~\angle BDM=\angle DBM=\alpha.
Следовательно,
\angle KMD=\angle BMD-\angle BMK=(180^{\circ}-2\alpha)-\alpha=
=180^{\circ}-3\alpha=180^{\circ}-3\cdot44^{\circ}=48^{\circ}.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2022-2023, XLIX, муниципальный этап, задача 4, 10 класс