13343. Точка M
— середина основания BC
трапеции ABCD
. На основании AD
выбрана точка P
. Луч PM
пересекает луч DC
в точке Q
. Перпендикуляр к основанию AD
, проведённый через точку P
, пересекает отрезок BQ
в точке K
. Известно, что \angle KQD=64^{\circ}
и \angle KDQ=38^{\circ}
. Сколько градусов составляет угол KBC
?
Ответ. 39^{\circ}
.
Решение. Пусть прямые AD
и BQ
пересекаются в точке X
. Продолжение медианы QM
треугольника BQC
пересекает сторону DX
треугольника DQX
, параллельную BC
, в точке P
, поэтому P
— середина стороны DX
(см. задачу 2607).
Высота KP
треугольника DKX
является его медианой, значит, этот треугольник равнобедренный, DK=KX
. Поскольку DKX
— внешний угол равнобедренного треугольника DKX
, а DX\parallel BC
, то
\angle KBC=\angle KXD=\frac{1}{2}\angle DKQ=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle KQD-\angle KDQ)=
=\frac{1}{2}(180^{\circ}-64^{\circ}-38^{\circ})=\frac{1}{2}\cdot78^{\circ}=39^{\circ}.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2022-2023, XLIX, муниципальный этап, задача 6, 11 класс