13349. В полукруг с диаметром AB
вписана окружность, касающаяся AB
в точке C
. Касательные к этой окружности, перпендикулярные AB
, пересекают AB
в точках M
и N
(N
между B
и M
). Известно, что AM=16
и BN=4
. Найдите радиус окружности.
Ответ. 8.
Решение. Пусть O
— центр полукруга, R
— его радиус, O_{1}
— центр окружности, r
— её радиус, C
— точка касания окружности с отрезком AB
, P
— точка касания окружности с полукругом. Тогда
MN=2r,~2R=AB=AM+MN+NB=16+2r+4=2r+20,~
OP=OB=R=\frac{1}{2}AB=r+10,
OC=OB-BN-CN=R-4-r=(r+10)-4-r=6.
Линия центров касающихся окружностей проходит через их точку касания (см. задачу 1758), поэтому
OO_{1}=OP-O_{1}P=(r+10)-r=10.
Из прямоугольного треугольника OCO_{1}
находим, что
r=O_{1}C=\sqrt{OO_{1}^{2}-OC^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8.