13359. Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке P
. Прямая, проходящая через точку P
и перпендикулярная PD
, пересекает прямую AD
в точке D_{1}
. Аналогично определяется точка A_{1}
. Докажите, что касательная, проведённая в точке P
к описанной окружности треугольника D_{1}PA_{1}
, параллельна прямой BC
.
Решение. Пусть MN
— касательная, к описанной окружности треугольника D_{1}PA_{1}
, проведённая в точке P
, причём точка P
лежит между M
и N
, а точки B
и M
лежат по одну сторону от прямой AC
. Тогда
180^{\circ}=\angle NPD+\angle DPD_{1}+\angle MPD_{1}=\angle NPD+90^{\circ}+\angle MPD_{1},
откуда
\angle NPD=90^{\circ}-\angle MPD_{1}.
Из теоремы об угле между касательной и хордой (см. задачу 87) и вписанности четырёхугольника ABCD
получаем
\angle NPD=90^{\circ}-\angle MPD_{1}=90^{\circ}-\angle PA_{1}A=
=\angle PAD=\angle CAD=\angle CBD=\angle CBP,
Следовательно, MN\parallel BC
. Что и требовалось доказать