1336. Пусть Q
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников AQB
, BQC
и AQC
лежат на описанной окружности треугольника ABC
.
Указание. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника BQC
. Докажите, что \angle BOC=180^{\circ}-\angle BAC
.
Решение. Первый способ. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника BQC
. Поскольку (см. задачу 1101)
\angle BQC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC
(угол между биссектрисами двух внутренних углов треугольника), то
\angle BOC=360^{\circ}-2\angle BQC=360^{\circ}-2\left(90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC\right)=180^{\circ}-\angle BAC.
Следовательно, точка O
лежит на окружности, проходящей через точки A
, B
и C
, т. е. на описанной окружности треугольника ABC
. Аналогично для центров описанных окружностей треугольников AQB
и AQC
.
Второй способ. Пусть прямая AQ
пересекает описанную окружность треугольника ABC
и точке D
. Докажем, что QD=BD=CD
.
Действительно, угол BQD
— внешний угол треугольника AQB
, поэтому
\angle BQD=\angle BAQ+ABQ=\frac{1}{2}\angle BAC+\frac{1}{2}\angle ABC=\angle CBD+QBC=\angle QBD.
Значит, треугольник BDQ
— равнобедренный и BD=QD
. Аналогично CD=QD
.
Поскольку QD=BD=CD
, то точка D
, расположенная на описанной окружности треугольника ABC
, является центром окружности, проходящей через точки B
, Q
, C
.
Аналогично для треугольников AQB
и AQC
.