13370. Дан треугольник ABC
, в котором AB=BC
. На стороне BC
нашлась такая точка D
, что CD=AC
. Точка E
на луче DA
такова, что DE=AC
. Какой отрезок длиннее — EC
или AC
?
Ответ. Отрезок AC
не короче отрезка EC
.
Решение. Если треугольник ABC
равносторонний, отрезки AC
и EC
равны. Рассмотрим случай, когда треугольник ABC
не равносторонний.
Поскольку BC\gt CD=AC
— наименьшая сторона равнобедренного треугольника ABC
, а лежащий против неё угол ABC
— наименьший угол треугольника ABC
, то \angle ABC\lt60^{\circ}
(см. задачу 1197) и \angle ACB\gt60^{\circ}
. Тогда из треугольника ACD
получаем
\angle ADC=\frac{1}{2}\angle ACB\lt60^{\circ},
а из треугольника CDE
—
\angle DEC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle CDE)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ADC)\gt60^{\circ}.
Таким образом, из треугольника CDE
получаем, что
\angle DEC\gt60^{\circ}\gt\angle EDC=\angle ADC,
откуда AC=CD\gt CE
. Что и требовалось доказать.
Автор: Рубанов И. С.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2022, XIV, первый тур дистанционного этапа, задача 2, 8 класс