13375. На стороне BC
треугольника ABC
отмечена точка D
. На стороне AB
выбрана точка P
. Отрезки PC
и AD
пересекаются в точке Q
. Точка R
— середина отрезка AP
. Докажите, что существует фиксированная точка X
, через которую прямая RQ
проходит при любом выборе точки P
Решение. Проведём через точку C
прямую, параллельную прямой AB
, и пусть E
— точка её пересечения с прямой AD
. Искомая точка X
—это середина отрезка CE
.
В самом деле, точки R
, Q
и X
лежат на одной прямой при любом выборе точки P
как середины сторон и точка пересечения диагоналей трапеции APEC
(см. задачу 1513).