13376. В выпуклом пятиугольнике ABCDE
диагонали AD
и CE
пересекаются в точке X
. Оказалось, что ABCX
— параллелограмм и BD=CX
, BE=AX
. Докажите, что AE=CD
.
Решение. Первый способ. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны, поэтому
AB=CX=BD,~BC=AX=BE,
а так как треугольник ABD
равнобедренный и противоположные углы параллелограмма равны, то
\angle ABD=180^{\circ}-2\angle BAD=180^{\circ}-2\angle BCE=\angle CBE.
Значит,
\angle ABE=\angle ABD-\angle DBE=\angle CBE-\angle DBE=\angle CBD.
Следовательно, треугольники ABE
и DBC
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AE=CD
.
Второй способ. Проведём отрезок BX
. У трапеции ABXE
равны диагонали AX
и BE
, поэтому она равнобедренная (см. задачу 1915), т. е. AE=BX
. Аналогично из равнобедренной трапеции BCDX
получаем CD=BX
. Следовательно,
AE=BX=CD.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Олимпиада Леонарда Эйлера (для 8 класса). — 2022, XIV, заключительный этап, второй день, задача 5, 8 класс