13377. В треугольнике ABC
(\angle C=90^{\circ}
) на катете BC
отмечены такие точки K
и L
, что \angle CAK=\angle KAL=\angle LAB
. На гипотенузе AB
отмечена такая точка M
, что ML=KL
. Докажите, что перпендикуляр из точки C
на прямую AK
не делит отрезок ML
пополам.
Решение. Проведём окружность \omega
с центром в точке L
и радиусом KL
. Она пересекает прямую AB
в двух точках или касается её. Рассмотрим первый случай (второй сводится к нему). Одной из двух точек пересечения будет точка M_{1}
, симметричная точке K
относительно прямой AL
, так как она лежит на прямой AB
и LM_{1}=LK
. При этом
\angle LM_{1}A=\angle AKL=\angle ACK+\angle CAK\gt90^{\circ},
поэтому LM_{1}A
— внешний угол равнобедренного треугольника M_{1}LM_{2}
, где M_{2}
— вторая точка пересечения окружности \omega
с прямой AB
, и точка M_{1}
лежит между точками A
и M_{2}
.
Положим \angle CAK=\angle KAL=\angle LAB=\alpha
, а через N
обозначим середину основания KM_{1}
равнобедренного треугольника KLM_{1}
. Из равенства прямоугольных треугольников ACK
и ANK
получаем
\angle AKN=\angle AKC=90^{\circ}-\alpha,
откуда
\angle NM_{1}L=\angle NKL=\angle AKL-\angle AKN=(90^{\circ}+\alpha)-(90^{\circ}-\alpha)=2\alpha.
Пусть P
— середина отрезка LM_{1}
, R
— середина отрезка LM_{2}
, а Q
— точка пересечения прямой CN
с отрезком M_{1}L
. Из равенства прямоугольных треугольников ACK
и ANK
(по гипотенузе и острому углу) получаем, что KC=KN
и AC=AN
, поэтому прямая AK
— серединный перпендикуляр к отрезку AK
. Кроме того, поскольку NP
— медиана прямоугольного треугольника M_{1}NL
, проведённая из вершины прямого угла, то
\angle M_{1}NP=\angle NM_{1}L=2\alpha
(см. задачу 1109). Тогда
\angle M_{1}NQ=\angle KNC=\angle KCN=\alpha\lt2\alpha=\angle M_{1}NP.
Таким образом, точка Q
лежит между точками M_{1}
и P
. Следовательно, прямая CQ
не может проходить через точку P
. Через точку R
прямая CQ
также не может проходить, поскольку
\angle CQL+\angle LQR\lt\angle CPL+\angle LPR\lt180^{\circ}.