13402. На сторону AB
остроугольного треугольника ABC
опущена высота CH
, и на отрезке AH
отмечена точка D
так, что AD=BH
. Докажите, что расстояние между серединами отрезков BH
и CD
вдвое меньше AC
.
Решение. Отметим точки M
, N
, K
— середины отрезков BH
, CD
, AD
соответственно. Отрезок HN
— медиана прямоугольного треугольника CHD
, проведённая из вершины прямого угла, поэтому HN=ND
(см. задачу 1109), т. е. точка N
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку HD
, а значит, и на серединном перпендикуляре к отрезку MK
. Значит,
MN=NK=\frac{1}{2}AC
(последнее равенство следует из того, что NK
— средняя линия треугольника ACD
). Что и требовалось доказать.