13407. Прямая l
проходит через вершину C
ромба ABCD
и пересекает продолжения его сторон AB
и AD
в точках X
и Y
соответственно. Прямые DX
и BY
вторично пересекают окружность, описанную около треугольника AXY
, в точках P
и Q
. Докажите, что окружность, описанная около треугольника PCQ
, касается прямой l
.
Решение. Пусть прямая AC
вторично пересекает описанную окружность треугольника AXY
в точке T
. Поскольку AC
— биссектриса угла DAB
, точка T
— середина дуги XY
. Тогда
\angle BQT=\angle YQT=\angle XAT=\angle BCA.
Следовательно, четырёхугольник QBCT
вписанный. Аналогично, четырёхугольник TCDP
вписанный.
В силу симметрии относительно прямой AC
и вписанности четырёхугольника TCDP
верно равенство
\angle ATB=\angle DTC=\angle DPC.
Тогда
\angle QCX=\angle BCX-\angle BCQ=\angle AYX-\angle BTQ,
так как AB\parallel BC
и четырёхугольник QBCT
вписанный. Кроме того,
\angle AYX-\angle BTQ=(\angle AYQ+\angle QYX)-\angle BTQ=
=(\angle ATQ+\angle QPX)-\angle BTQ
=(\angle ATQ-\angle BTQ)+\angle QPX=\angle ATB+\angle QPX=
=\angle DPC+\angle QPX=\angle QPC.
Таким образом, \angle QCX=\angle QPC
. Тогда прямая CX
(т. е. прямая l
) касается описанной окружности треугольника PCQ
(см. задачу 144). Что и требовалось доказать.