13421. В остроугольном треугольнике ABC
провели высоту AH
и диаметр AD
описанной окружности. Точка I
— центр вписанной окружности. Докажите, что \angle BIH=\angle DIC
.
Решение. Положим \angle ACB=2\gamma
. Рассмотрим поворотную гомотетию с центром A
, переводящую точку B
в точку D
. Поскольку \angle ABD=90^{\circ}=\angle AHC
, то
\angle BAD=90^{\circ}-\angle ADB=90^{\circ}-\angle ACB=\angle HAC
и
\frac{AB}{AD}=\sin\angle ADB=\sin\angle ACB=\frac{AH}{AC}.
Значит, H
перейдёт в точку C
.
Пусть точка I
переходит в некоторую точку P
. Тогда
\angle APD=\angle AIB=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ACB=90^{\circ}+\gamma
(см. задачу 4770). С другой стороны, треугольники AIP
и AHC
подобны и
\angle API=\angle ACH=2\gamma,
поэтому
\angle IPD=\angle APD-\angle API=(90^{\circ}+\gamma)-2\gamma=
=90^{\circ}-\gamma=\angle ACD-\angle ACI=\angle ICD.
Значит, около четырёхугольника IPCD
можно описать окружность (см. задачу 12). Вписанные в неё углы DIC
и DPC
опираются на одну и ту же дугу, поэтому \angle DIC=\angle DPC
. При этом \angle DPC=\angle BIH
, так как первый из них получается из второго рассматриваемой поворотной гомотетией. Следовательно, \angle BIH=\angle DIC
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Также можно применить тригонометрическую форму теоремы Чевы.
Автор: Бахарев Ф. Л.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2022, второй тур, задача 3, 10 класс