13422. В остроугольном треугольнике ABC
с углом 45^{\circ}
при вершине A
проведены высоты AD
, BE
и CF
. Луч EF
пересекает прямую BC
в точке X
. Оказалось, что прямые AX
и DE
параллельны. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. 45^{\circ}
, 60^{\circ}
, 75^{\circ}
.
Решение. Из точек D
и E
отрезок AB
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AB
(аналогично, точки E
и F
лежат на окружности с диаметром BC
). Тогда
\angle EDC=180^{\circ}-\angle BDE=\angle BAE=45^{\circ},
а так как AX\parallel DE
, то
\angle AXC=\angle EDC=45^{\circ}.
В прямоугольном треугольнике AFC
острый угол при вершине A
равен 45^{\circ}
, поэтому
\angle AFC=90^{\circ}=2\angle AXC,~AF=FC.
Значит, точка F
— центр описанной окружности треугольника AXC
(см. задачу 2900).
Обозначим \angle ACD=\gamma
. Тогда
\angle BFE=\angle AFX=2\angle ACX=2\angle ACD=2\gamma.
Из вписанного четырёхугольника BCEF
получаем, что
180^{\circ}=\angle BFE+\angle BCE=2\gamma+\gamma=3\gamma.
Следовательно,
\angle ACB=\gamma=60^{\circ},~\angle ABC=180^{\circ}-45^{\circ}-60^{\circ}=75^{\circ}.
Автор: Мигрин В. В.
Источник: Санкт-Петербургская (Ленинградская) математическая олимпиада. — 2022, второй тур, задача 2, 11 класс