1343. Докажите, что прямые AB
и KM
перпендикулярны тогда и только тогда, когда AK^{2}-BK^{2}=AM^{2}-BM^{2}
.
Указание. Геометрическое место точек X
, для которых разность AX^{2}-BX^{2}
постоянна, есть перпендикуляр к отрезку AB
(см. задачу 2445).
Решение. Необходимость. Пусть прямые AB
и KM
перпендикулярны. Если P
их точка пересечения, то по теореме Пифагора
AK^{2}-AP^{2}=BK^{2}-BP^{2},~\mbox{или}~AK^{2}-BK^{2}=AP^{2}-BP^{2}.
Аналогично докажем, что
AM^{2}-BM^{2}=AP^{2}-BP^{2}.
Следовательно,AK^{2}-BK^{2}=AM^{2}-BM^{2}
.
Достаточность. Пусть AK^{2}-BK^{2}=AM^{2}-BM^{2}
. Рассмотрим отрезок AB
. Известно, что геометрическое место точек X
, для которых разность AX^{2}-BX^{2}
постоянна, есть перпендикуляр к отрезку AB
(см. задачу 2445). Поскольку точки K
и M
удовлетворяют этому условию, они лежат на этом перпендикуляре. Следовательно, AB\perp KM
.