13431. Средняя линия, параллельная стороне AC
треугольника ABC
, пересекает его описанную окружность в точках X
и Y
. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, а D
— середина дуги AC
, не содержащей точку B
. На отрезке DI
отметили такую L
, что DL=\frac{1}{2}BI
. Докажите, что из точек X
и Y
отрезок IL
виден под равными углами.
Решение. Поскольку BD
— биссектриса угла ABC
, а дуги, заключённые между параллельными хордами XY
и AC
равны, то \angle ABX=\angle CBY
, поэтому ID
— биссектриса угла XBY
.
Пусть X'
— точка, симметричная точке X
относительно BD
. Тогда X'
лежит на луче BY
. Достаточно доказать, что точки I
, L
, Y
, X'
лежат на одной окружности, т. е., что BI\cdot BL=BX\cdot BY
(см. задачу 114). Тогда из симметрии и по теореме о вписанных углах
\angle LXI=\angle LX'I=\angle LYI.
Пусть I_{B}
— центр вневписанной окружности треугольника ABC
, касающейся стороны AC
. Тогда точка I_{B}
, как и точка I
, на луче BD
, причём по теореме Мансиона (см. задачу 57), точка D
— середина отрезка II_{B}
. Обозначим DL=a
и IL=x
. Тогда
BI=2DL=2a,~BL=2a+x,
LI_{B}=LD+DI_{B}=LD+DI=a+(a+x)=2a+x=BL,
т. е. L
— середина отрезка BI_{B}
. Следовательно,
BI\cdot BL=BI\cdot\frac{1}{2}BI_{B}=\frac{1}{2}BI\cdot BI_{B}.
Пусть X''
— точка пересечения AC
и BX
. Тогда треугольники X''BA
и CBY
подобны, поскольку
\angle BX''A=\angle BXY=\angle BCY~\mbox{и}~\angle XBA=\angle CBY,
откуда получаем
\frac{BY}{AB}=\frac{BC}{BX''}=\frac{BC}{2BX}~\Rightarrow~2BX\cdot BY=AB\cdot BC.
Биссектрисы смежных углов перпендикулярны, поэтому из точек A
и C
отрезок II_{B}
виден под прямым углом. Значит, AICI_{B}
— вписанный четырёхугольник. Следовательно,
\angle AI_{B}B=\angle AI_{B}I=\angle ACI=\angle BCI,
поэтому треугольники BIC
и BAI_{B}
подобны по двум углам. Тогда
\frac{BI}{BC}=\frac{AB}{BI_{B}}~\Rightarrow~BI\cdot BI_{B}=AB\cdot BC=2BX\cdot BY~\Rightarrow~
~\Rightarrow~BX\cdot BY=\frac{1}{2}BI\cdot BI_{B}=BI\cdot BL.
Отсюда следует утверждение задачи.
Примечание. Равенство BI\cdot BL=BX\cdot BY
можно также получить, применив композицию инверсии с центром B
и симметрии относительно биссектрисы угла ABC
, меняющей X
и Y
местами.