13432. Хорды AB
и CD
окружности \omega
пересекаются в точке E
, причём AD=AE=EB
. На отрезке CE
отметили точку F
так, что ED=CF
. Биссектриса угла AFC
пересекает дугу DAC
в точке P
. Докажите, что точки A
, E
, F
и P
лежат на одной окружности.
Решение. Треугольник AED
равнобедренный, поэтому и треугольник BCE
равнобедренный, а так как
AD=BE,~DF=CE=CB~\mbox{и}~\angle ADF=\angle ADC=\angle ABC=\angle EBC,
то этот треугольник равен треугольнику AFD
. Значит, PF\parallel AD
как биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника AFD
(см. задачу 1174)
\angle PFD=180^{\circ}-\angle ADF=\angle AEF,
поэтому прямые AE
и PF
симметричны относительно серединного перпендикуляра к отрезку FE
, а значит, относительно серединного перпендикуляра к хорде CD
, т. е. относительно диаметра окружности. Тогда точки P
и A
также симметричны относительно диаметра окружности. Таким образом, AEFP
— равнобедренная трапеция. Следовательно, около неё можно описать окружность. Отсюда получаем утверждение задачи.
Автор: Марданов А. П.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2022, XVIII, финал, второй день, задача 5, 9 класс