13448. В треугольнике ABC
угол ACB
равен 120^{\circ}
, M
— середина стороны AB
. На сторонах AC
и BC
отмечены точки P
и Q
соответственно так, что AP=PQ=QB
. Найдите угол PMQ
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Пусть точка X
симметрична точке P
относительно M
, тогда BX\parallel AP
и BX=AP=BQ
. Кроме того, \angle QBX=60^{\circ}
, поэтому равнобедренный треугольник BQX
— равносторонний. Значит, QX=BQ=PQ
. Тогда медиана QM
равнобедренного треугольника PQX
является его высотой. Следовательно, \angle PMQ=90^{\circ}
.
Второй способ. Пусть точка N
— середина PQ
. Тогда из четырёхугольника APQB
получим, что
\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BQ})
(см. задачу 4504). Значит,
MN=\overrightarrow{MN}^{2}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AP}^{2}+\overrightarrow{BQ}^{2}+2\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{BQ}).
Учитывая, что
|\overrightarrow{AP}|=|\overrightarrow{BQ}|=|\overrightarrow{PQ}|~\mbox{и}~\angle(\overrightarrow{AP};\overrightarrow{BQ})=120^{\circ},
получим
MN^{2}=\frac{1}{4}(2PQ^{2}+2PQ^{2}\cos120^{\circ})=\frac{1}{4}\left(2PQ^{2}-2PQ^{2}\cdot\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}PQ.
Значит, MN=\frac{1}{2}PQ
.
Таким образом, медиана MN
треугольника PMQ
равна половине стороны PQ
. Следовательно (см. задачу 1188), \angle PMQ=90^{\circ}
.