13453. Пусть I
— центр вписанной окружности \omega
треугольника ABC
, касающейся сторон AB
и AC
в точках соответственно E
и F
. Прямые, проходящие через E
и F
параллельно AI
, пересекают прямые BI
и CI
в точках P
и Q
соответственно. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника IPQ
, лежит на прямой BC
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, описанной около треугольника PIQ
, R
— точка касания окружности \omega
со стороной BC
. Докажем, что точка O
лежит на окружности, описанной около треугольника PRQ
.
Пусть \angle BAC=2\alpha
. Тогда
\angle PIQ=\angle BIC=90^{\circ}+\alpha
(см. задачу 4770). Значит,
\angle POQ=2(180^{\circ}-\angle PIQ)=180^{\circ}-2\alpha.
Кроме того, в силу симметрии и параллельности
\angle PRB=\angle PEB=\angle IAB=\angle IAC=\angle QFC=\angle QRC=\alpha,
поэтому
\angle PRQ=180^{\circ}-\angle PRB-\angle QRC=180^{\circ}-2\alpha=\angle POQ.
Следовательно, O
лежит на описанной окружности треугольника PRQ
(см. задачу 12).
Заметим, что прямая BC
содержит биссектрису внешнего угла при вершине R
треугольника PRQ
. Тогда эта прямая повторно пересекает описанную окружность треугольника PRQ
в середине дуги PRQ
, т. е. в точке, равноудалённой от P
и Q
. Но точка O
также лежит на этой окружности, равноудалена от P
и Q
и лежит с точкой R
в одной полуплоскости относительно прямой PQ
. Следовательно, O
— середина дуги PRQ
и лежит на отрезке BC
. Что и требовалось доказать.