13457. Точки X_{1}
и X_{2}
движутся по фиксированным окружностям с центрами O_{1}
и O_{2}
соответственно так, что лучи O_{1}X_{1}
и O_{2}X_{2}
сонаправлены. Найдите геометрическое место точек пересечения прямых O_{1}X_{2}
и O_{2}X_{1}
.
Ответ. Объединение прямой O_{1}O_{2}
и окружности с центром в точке M
. При этом точка M
делит отрезок O_{1}O_{2}
в отношении радиусов, а радиус окружности равен \frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}
, где R_{1}
и R_{2}
— радиусы данных окружностей.
Решение. Поскольку указанные прямые могут совпадать, то все точки прямой O_{1}O_{2}
удовлетворяют условию.
Теперь рассмотрим невырожденный случай. Из условия следует, что O_{1}X_{1}X_{2}O_{2}
— трапеция или параллелограмм (в случае равенства окружностей). Пусть P
— точка пересечения O_{1}X_{2}
и O_{2}X_{1}
, M
— такая точка на отрезке O_{1}O_{2}
, что прямая PM
параллельна основаниям трапеции (в случае параллелограмма M
— середина O_{1}O_{2}
). Тогда
\frac{O_{1}M}{O_{2}M}=\frac{PX_{1}}{PO_{2}}=\frac{R_{1}}{R_{2}},
\frac{MP}{O_{2}X_{2}}=\frac{O_{1}M}{O_{1}O_{2}}=\frac{R_{1}}{R_{1}+R_{2}},
откуда
MP=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}.
Значит, все такие точки P
лежат на окружности с фиксированным центром M
и радиусом \frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}
.
Осталось показать, что все точки такой окружности могут быть пересечением указанных прямых. Рассмотрим произвольную точку P
указанной окружности. Проведём через точку O_{1}
луч, сонаправленный с лучом MP
. Пусть X_{1}
— точка пересечения этого луча с прямой O_{2}P
. Тогда из подобия треугольников PO_{2}M
и X_{1}O_{2}O_{1}
следует, что
O_{1}X_{1}=\frac{R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\cdot\frac{R_{1}+R_{2}}{R_{2}}=R_{1}.
Значит, точка X_{1}
лежит на первой окружности. Выполнив аналогичное построение и рассуждение для точки X_{2}
, получим требуемое.
Примечание. В решении можно было использовать, что отрезок, параллельный основаниям трапеции с концами на боковых сторонах и проходящий через точку пересечения диагоналей, равен среднему гармоническому оснований (см. задачу 1512).
Автор: Кожевников П. А.
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2023, XX, задача 2, 10-11 класс