1346. Рассмотрим два различных четырёхугольника с соответственно равными сторонами. Докажите, что если у одного из них диагонали перпендикулярны, то и у другого тоже.
Решение. Докажем сначала, что диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов его противоположных сторон равны.
Необходимость. Пусть диагонали AC
и BD
четырёхугольника ABCD
перпендикулярны. Если P
их точка пересечения, то по теореме Пифагора
AB^{2}-AP^{2}=BC^{2}-CP^{2},~\mbox{или}~AB^{2}-BC^{2}=AP^{2}-CP^{2}.
Аналогично докажем, что
AD^{2}-CD^{2}=AP^{2}-CP^{2}.
Следовательно,
AB^{2}-BC^{2}=AD^{2}-CD^{2},~\mbox{или}~AB^{2}+CD^{2}=BC^{2}+AD^{2}.
Достаточность. Пусть в четырёхугольнике ABCD
известно, что
AB^{2}+CD^{2}=BC^{2}+AD^{2}.
Тогда
AB^{2}-BC^{2}=AD^{2}-CD^{2}.
Рассмотрим отрезок AC
. Известно, что геометрическое место точек X
, для которых разность AX^{2}-CX^{2}
постоянна, есть прямая, перпендикулярная отрезку AB
(см. задачу 2445). Поскольку точки B
и D
удовлетворяют этому условию, они лежат на этой прямой. Следовательно, AC\perp BD
.
Вернёмся к нашей задаче. Поскольку диагонали первого из двух данных в условии четырёхугольников перпендикулярны, то суммы квадратов его противоположных сторон равны. Тогда равны и суммы квадратов противоположных сторон второго четырёхугольника, и из доказанного утверждения следует, что диагонали второго четырёхугольника также перпендикулярны.