13463. Дан треугольник ABC
, в котором \angle A\lt\angle C
. Точка E
лежит на биссектрисе угла B
, причём \angle EAB=\angle ACB
. Точка D
лежит на продолжении стороны BC
за точку B
, причём BD=AB
. Докажите, что середина M
стороны AC
лежит на прямой DE
.
Решение. Пусть AT
— биссектриса треугольника ABC
. Тогда (см. задачу 1509) \frac{TE}{EA}=\frac{BT}{BA}
. Поскольку \angle BAT=\angle BCA
, треугольники TBA
и ABC
с общим углом при вершине B
подобны по двум углам, поэтому
\frac{TE}{EA}=\frac{BT}{BA}=\frac{BA}{BC}=\frac{c}{a}~\Rightarrow~BT=\frac{BA^{2}}{BC}=\frac{c^{2}}{a}.
Кроме того,
CD=CB+BD=CB+BA=a+c,
DT=DB+BT=BA+BT=c+BT=c+\frac{c^{2}}{a}.
Значит, рассматривая направленные отрезки, получим
\frac{AM}{MC}\cdot\frac{CD}{DT}\cdot\frac{TE}{EA}=1\cdot\frac{CD}{DT}\cdot\frac{BT}{BA}=-\frac{a+c}{c+\frac{c^{2}}{a}}\cdot\frac{\frac{c^{2}}{a}}{c}=-1.
Следовательно, по теореме Менелая для треугольника TCA
точки D
, E
и M
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 2019, № 8, задача OC425, с. 469
Источник: Румынские математические олимпиады. — 2017