13468. Дан прямоугольник ABCD
, в котором AB\gt BD
. Постройте точки X
и Y
между C
и D
так, чтобы AX=XY=YB
.
Решение. Первый способ. Пусть M
— середина стороны CD
. На луче MA
построим точку P
так, чтобы DP=DC
, а через точку A
параллельно DP
проведём прямую. Пусть она пересекает CD
в точке X
. На луче MC
отложим отрезок MY=MX
. Докажем, что X
и Y
— искомые точки.
Действительно, из параллельности AX
, PD
и равенства DP=DC
получаем
\frac{AX}{XM}=\frac{PD}{DM}=\frac{CD}{DM}=\frac{CD}{\frac{1}{2}CD}=2.
Тогда
AX=2XM=XY,
а из симметрии — AX=BY
. Что и требовалось доказать.
Для каждого такого прямоугольника ABCD
задача имеет единственное решение.
Первый способ. Пусть M
— середина стороны CD
. На луче AM
отложим отрезок AO=\frac{4}{3}AM
. Построим окружность с центром O
и радиусом \frac{1}{2}AM
. Это окружность Аполлония для точек A
и M
и k=2
(см. задачу 2444), т. е. геометрическое место точек, удалённых от A
на расстояние вдвое большее, чем от M
.
Поскольку AD\lt CD=2MD
, точка D
лежит вне этой окружности. Следовательно, окружность пересекает отрезок MD
. Обозначим точку пересечения через X
, а через Y
— симметричную ей точку относительно M
. Тогда X
и Y
— искомые точки.