13469. Дан остроугольный треугольник ABC
со сторонами AC=b
и AB=c
. Биссектриса угла A
пересекает его описанную окружность в точке A_{1}
. Точка D
— проекция A_{1}
на прямую AB
, точки L
и M
— середины сторон CA
и AB
соответственно. Докажите, что:
а) AD=\frac{b+c}{2}
;
б) A_{1}D=OM+OL
.
Решение. а) См. задачу 176.
б) Обозначим \angle B=\beta
. Пусть P
— середина стороны BC
, а Q
— проекция центра O
описанной окружности на прямую A_{1}D
. Точка A_{1}
, как и точка O
, равноудалена от концов отрезка BC
, значит, OA_{1}
— серединный перпендикуляр к отрезку BC
. Из точек D
и P
отрезок A_{1}B
виден под прямым углом, поэтому четырёхугольник BDA_{1}P
вписанный. Значит,
\angle QA_{1}O=\angle DA_{1}P=\angle ABC=\beta.
С другой стороны, \angle AOL=\beta
как половина центрального угла AOC
. Значит, прямоугольные треугольники OQA_{1}
и ALO
равны по гипотенузе и острому углу. Тогда A_{1}Q=OL
, а так как DA_{1}OM
— прямоугольник, то QD=OM
. Следовательно,
A_{1}D=QD+A_{1}Q=OM+OL.
Что и требовалось доказать.