1347. Найдите геометрическое место точек, касательные из которых, проведённые к двум окружностям, равны.
Ответ. Прямая или два луча.
Решение. Пусть R
и r
— радиусы данных окружностей с центрами O_{1}
и O_{2}
соответственно, MA
и MB
— отрезки касательных, проведённых к этим окружностям из точки M
(A
и B
— точки касания, лежащие на первой и второй окружностях соответственно), причём MA=MB
. Тогда
O_{1}M^{2}=MA^{2}+O_{1}A^{2}=MA^{2}+R^{2},~O_{2}M^{2}=MB^{2}+O_{2}B^{2}=MB^{2}+r^{2},
поэтому O_{1}M^{2}-O_{2}M^{2}=R^{2}-r^{2}
. Это означает, что точка M
лежит на прямой, перпендикулярной O_{1}O_{2}
(см. задачу 2445) и проходящей через некоторую точку отрезка O_{1}O_{2}
. Положение этой точки однозначно определяется радиусами окружностей и расстоянием между их центрами.
Если одна окружность расположена вне другой, то каждая точка этой прямой удовлетворяет данному условию.
Если окружности пересекаются, то данному условию удовлетворяют только точки, не лежащие на общей хорде.
Таким образом, искомое ГМТ либо прямая, либо два луча.