13477. Диагонали AC
и BD
четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке O
, лежащей внутри четырёхугольника. Площади треугольников AOB
и COD
равны S_{1}
и S_{2}
соответственно, а площадь четырёхугольника ABCD
равна S
. Докажите, что:
а) \sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}}\leqslant\sqrt{S}
;
б) неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда прямые AB
и CD
параллельны.
Решение. Пусть площади треугольников BOC
и AOD
равны S_{3}
и S_{4}
соответственно, OB=a
и OD=b
. Тогда
\sqrt{S_{1}}+\sqrt{S_{2}}\leqslant\sqrt{S}~\Leftrightarrow~S_{1}+2\sqrt{S_{1}S_{2}}+S_{2}\leqslant S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~2\sqrt{S_{1}S_{2}}\leqslant S_{3}+S_{4},
а так как
\frac{S_{4}}{S_{1}}=\frac{DO}{OB}=\frac{b}{a}~\mbox{и}~\frac{S_{3}}{S_{2}}=\frac{BO}{OD}=\frac{a}{b},
то
S_{3}+S_{4}=\frac{a}{b}\cdot S_{1}+\frac{b}{a}\cdot S_{2}\geqslant2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot S_{1}\cdot\frac{b}{a}\cdot S_{2}}=2\sqrt{S_{1}S_{2}}.
Что и требовалось доказать
Равенство достигается тогда и только тогда, когда
S_{3}=\frac{a}{b}\cdot S_{1}=\frac{b}{a}\cdot S_{2}=S_{4},
т. е. когда AB\parallel CD
(см. задачу 4190).