13479. Два квадрата ABDE
и ACFG
построены вне треугольника ABC
на его сторонах AB
и BC
соответственно. Точки P
и Q
на прямой EG
таковы, что BP
и CQ
перпендикулярны BC
. Докажите, что BP+CQ\geqslant BC+EG
.
Когда достигается равенство?
Решение. Пусть M
, N
, и O
— середины отрезков BC
, PQ
и EG
соответственно а A'
— точка, симметричная A
относительно точки O
. Тогда (см. задачу 6006) треугольник EAA'
равен треугольнику ABC
, причём стороны треугольника EAA'
перпендикулярны соответствующим сторонам треугольника ABC
, а медиана EO
треугольника EAA'
равна и перпендикулярна соответствующей медиане AM
треугольника ABC
.
Отметим на прямой MN
точку L
, для которой AL\parallel OE
. Прямые MN
и AA'
перпендикулярны BC
, поэтому они параллельны. Значит, AONL
— параллелограмм, AO=LN
. Поскольку AM\perp OE
, то AM\perp AL
, поэтому ML\geqslant MA
. Значит,
MN=LN+ML\geqslant AO+MA.
Отрезок MN
— средняя линия трапеции (или прямоугольника) CMNQ
, следовательно,
BP+CQ=2MN\geqslant2(AO+MA)=2AO+2MA=AA'+EG=BC+EG.
Что и требовалось доказать.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда MN=AO+MA
, т. е. когда, отрезок MN
с MO
, т. е. когда AB=AC
.