13487. В остроугольном треугольнике ABC
точки O
, I
и H
— центр описанной окружности, центр вписанной окружности и ортоцентр соответственно. Известно, что точки A
, H
, I
, O
и B
лежат на одной окружности.
а) Найдите угол C
.
б) Докажите, что HI=IO
.
в) Найдите углы A
и B
, если известно, что AH=HI
.
Ответ. а) 60^{\circ}
; в) 80^{\circ}
и 40^{\circ}
.
Решение. Обозначим углы треугольника при вершинах A
, B
и C
через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Без ограничения общности будем считать, BC\gt AC
, или \beta\gt\alpha
.
а) Поскольку точки A
, H
, O
и B
лежат на одной окружности,
\angle AHB=\angle AOB.
При этом
\angle AHB=180^{\circ}-\gamma,
а так как центральный угол AOB
этой окружности вдвое больше соответствующего вписанного, то \angle AOB=2\gamma
. Из равенства
180^{\circ}-\gamma=2\gamma
находим, что \gamma=60^{\circ}
.
б) Поскольку
\angle OBC=\angle ABH=90^{\circ}-\alpha
(см. задачу 20), а BI
— биссектриса угла ABC
, то BI
— биссектриса вписанного угла HBO
. Следовательно, HI=IO
. Что и требовалось доказать.
в) Поскольку AH=HI
, луч BI
— биссектриса вписанного угла ABI
, поэтому
90^{\circ}-\alpha=\angle ABH=\angle IBH=\angle CBH-\angle CBI=30^{\circ}-\frac{\alpha}{2},
а так как \alpha+\beta=120^{\circ}
, получаем уравнение
90^{\circ}-(120^{\circ}-\beta)=30^{\circ}-\frac{\beta}{2},
из которого находим, что \beta=40^{\circ}
. Тогда \alpha=80^{\circ}
Примечание. Если две из трёх точек H
, I
, O
лежат на одной окружности с точками A
и B
, то на этой окружности лежит и третья точка.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1991, № 4, задача 1521 (74), с. 126