13492. Пусть O
— центр окружности, проходящей через точки A
, B
и C
, точка D
— середина отрезка AB
, а E
— точка пересечения медиан треугольника ACD
. Докажите, что прямые CD
и OE
перпендикулярны тогда и только тогда, когда AB=AC
.
Решение. Пусть \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}
, \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}
, \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c}
. Тогда (см. задачу 4505)
\overrightarrow{OE}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})\right)=
=\frac{1}{3}\left(\frac{3}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)=\frac{1}{6}(3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}),
\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB})=\frac{1}{2}((\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC})+(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}))=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}).
Прямые CD
и OE
перпендикулярны тогда и только тогда, когда \overrightarrow{OE}\cdot\overrightarrow{CD}=0
. Учитывая, что
\overrightarrow{a}^{2}=\overrightarrow{b}^{2}=\overrightarrow{c}^{2},
получим
(3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c})(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c})=0~\Leftrightarrow~\overrightarrow{a}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\overrightarrow{OA}(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC})=0~\Leftrightarrow~\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{BC}=0~\Leftrightarrow~OA\perp BC~\Leftrightarrow~AB=AC.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1991, № 8, задача 1 (71), с. 228
Источник: Балканская математическая олимпиада. — 1987, II