13495. Точки M
и P
— середины сторон BC
и CD
выпуклого четырёхугольника ABCD
. Известно, что AM+AP=a
. Докажите, что площадь четырёхугольника ABCD
меньше \frac{a^{2}}{4}
.
Решение. Пусть площадь данного четырёхугольника равна S
, а точка M
лежит на стороне BC
. Поскольку BM
и AP
— медианы треугольников ABC
и ADC
соответственно, то (см. задачу 3001)
S=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}=2S_{\triangle AMC}+2S_{\triangle APC}=2S_{AMCP}.
Четырёхугольник выпуклый, поэтому точка O
пересечения диагоналей лежит на отрезке AC
, а так как MP\parallel BD
(как средняя линия треугольника BCD
), то MP
пересекает отрезок OC
в его середине. Значит, высота треугольника MCP
, проведённая из вершины C
, меньше высоты треугольника MAP
, проведённой из вершины A
, а так как MP
— общее основание этих треугольников, то S_{\triangle CMP}\lt S_{\triangle AMP}
.
Далее получаем
S_{\triangle AMP}=\frac{1}{2}AM\cdot AP\sin\angle MAP\leqslant\frac{1}{2}AM\cdot AP\leqslant\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{AM+AP}{2}\right)^{2}=\frac{a^{2}}{8}.
Следовательно,
S=2S_{AMCP}=S_{\triangle AMP}+S_{\triangle CMP}\lt2S_{\triangle AMP}=\frac{a^{2}}{8}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1991, № 9, задача 3, с. 267