13501. Стороны треугольника равны a
, b
и c
. Докажите, что величина \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}
содержится между \frac{3}{2}
и 2. Можно ли улучшить эти границы?
Решение. \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+3=\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1=
=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}=(a+b+c)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)=
=\frac{1}{2}((a+b)+(b+c)+(a+c))\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\geqslant\frac{9}{2}.
Последнее неравенство верно, так как
\frac{1}{\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}}\leqslant\frac{(b+c)+(c+a)+(a+b)}{3}
(см. примечание к задаче 3399). Следовательно,
\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geqslant\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}.
Равенство достигается, когда b+c=c+a=a+b
, т. е. a=b=c
. В этом случае треугольник равносторонний. Таким образом, нижнюю границу неравенства увеличить нельзя.
Для верхней границы заметим, что a\lt b+c
(неравенство треугольника), поэтому
\frac{a}{b+c}-\frac{2a}{a+b+c}=\frac{a^{2}-a(b+c)-2a(b+c)}{(b+c)(a+b+c)}=
=\frac{a^{2}-a(b+c)}{(b+c)(a+b+c)}=\frac{a(a-(b+c))}{(b+c)(a+b+c)}\lt0.
Аналогично,
\frac{b}{c+a}-\frac{2b}{a+b+c}\lt0,~\frac{c}{a+b}-\frac{2b}{a+b+c}\lt0.
Значит,
\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\lt\frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=2.
Заметим, что и это неравенство нельзя улучшить.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1992, № 1, задача 5, с. 8
Источник: Индийские математические олимпиады. — 1990