13508. В треугольнике ABC
с острыми углами при вершинах A
и C
проведена высота BD
. Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника при вершине A
пересекают прямую BC
в точках E
и F
соответственно. Известно, что BC
— биссектриса внешнего угла при вершине B
треугольника ABD
. Докажите, что AE=AF
.
Решение. Если угол при вершине B
тупой или прямой, то точка D
лежит на отрезке AC
(см. задачу 127а). Если угол при вершине B
острый, то треугольник ABC
остроугольный, и точка D
тоже лежит на отрезке AC
(см. задачу 127б).
Пусть прямые AE
и BD
пересекаются в точке H
. На продолжении стороны AB
за точку D
отметим точку G
. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны, поэтому AF\perp AE
. Тогда
\angle FAB=90^{\circ}-\angle BAH=90^{\circ}\angle HAD=\angle AHD=\angle BHE.
Луч BE
— биссектриса угла DBG
, поэтому
\angle HBE=\angle EBG=\angle ABF.
Итак, \angle FAB=\angle BHE
и \angle ABF=\angle HBE
. Значит, равны и третьи углы треугольников ABF
и HBE
, т. е. \angle AFB=\angle HEB=\angle AEB
. Следовательно, треугольник AFE
равнобедренный, и AE=AF
. Что и требовалось доказать.