13510. Четырёхугольник ABCD
(AD\lt CD
) вписан а окружность \Gamma
. Диагонали AC
и BD
пересекаются в точке E
. Точка M
лежит на отрезке EC
, причём \angle CBM=\angle ACD
. Докажите, что описанная окружность треугольника BME
касается окружности \Gamma
в точке B
.
Решение. Пусть луч BM
пересекает окружность \Gamma
в точке M'
. Тогда
\angle CBM'=\angle ACD=\angle ABD,
поэтому CM'=AD
как хорды, стягиваемые равными дугами. Значит, AC\parallel DM'
(см. примечание к задаче 1678), и треугольник BEM
гомотетичен треугольнику BDM'
с центром B
и коэффициентом \frac{BE}{BD}
. Тогда описанная окружность треугольника BEM
гомотетична окружности \Gamma
, и при этом центр гомотетии — их общая точка B
. Следовательно, эти окружности касаются в точке B
.
Примечание. Условие AD\lt CD
не является необходимым.