13511. Пусть B
и C
— фиксированные точки, а A
— произвольная точка, из которой отрезок BC
виден под фиксированным углом; F
и G
— середины отрезков AB
и AC
соответственно, причём FD\perp AB
, GE\perp AC
, а FB
и GC
— перпендикуляры к BC
. Докажите, что произведение BF\cdot CG
не зависит от положения точки A
.
Решение. Пусть \angle B=\beta
, \angle C=\gamma
. Геометрическое место точек A
— объединение двух вмещающих данный угол дуг равных окружностей (см. задачу 12). Пусть R
— радиус этих окружностей. Поскольку угол \angle FBD
равен 90^{\circ}-\beta
или \beta-90^{\circ}
, то
FB=\frac{BD}{\cos\angle FBD}=\frac{BD}{\sin\beta}=\frac{AB}{2\sin\beta}=\frac{2R\sin\gamma}{2\sin\beta}=\frac{R\sin\gamma}{\sin\beta}.
Аналогично, GC=\frac{R\sin\beta}{\sin\gamma}
. Следовательно,
BF\cdot CG=\frac{R\sin\gamma}{\sin\beta}\cdot\frac{R\sin\beta}{\sin\gamma}=R^{2}.
Что и требовалось доказать.