13533. Пусть A
, B
и C
— три произвольные точки плоскости, а X
, Y
и Z
— середины отрезков AB
, BC
и AC
соответственно. Точка P
лежит на прямой BC
, причём \angle CPZ=\angle YXZ
. Докажите, что прямые AP
и BC
пересекаются под прямым углом.
Решение. Из теоремы о средней линии треугольника следует, что CYXZ
— параллелограмм, поэтому
\angle ZCY=\angle YXZ=\angle CPZ.
Тогда треугольник CZP
равнобедренный, ZP=ZC=ZA
.
Медиана PZ
треугольника APC
равна половине стороны AC
, значит, этот треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине P
(см. задачу 1188). Отсюда следует утверждение задачи.