13535. Около треугольника ABC
описана окружность радиуса R
. Точки L
, M
и N
— середины дуг AB
, BC
и CA
, не содержащих точек C
, A
и B
соответственно. Точки E
и F
— проекции M
на прямые AB
и AC
соответственно. Известно, что AB\ne AC
и LE=NF
. Докажите, что NF=R
.
Решение. Луч AM
— биссектриса угла EAM
, поэтому прямоугольные треугольники AEM
и AFM
равны по общей гипотенузе и острому углу. Значит, ME=MF
и MA
— биссектриса угла EMF
. Следовательно, прямая AM
— серединный перпендикуляр к отрезку EF
. В то же время, LN\perp AM
(см. задачу 33), а так как AB\ne AC
, то \smile ALE\ne\smile ANC
, поэтому \smile AL\ne\smile AN
, и AL\ne AN
. Значит, прямая AM
не является серединным перпендикуляром к отрезку LN
. Значит, четырёхугольник EFNL
с равными сторонами LE
и NF
и с параллельными сторонами EF
и LN
не может быть равнобедренной трапецией. Следовательно, это параллелограмм, и LE\parallel NF
и LN=EF
.
Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
. Прямые OL
и ME
перпендикулярны AB
, значит, OL\parallel ME
. Аналогично, ON\parallel MF
. Стороны треугольников LON
и BMF
соответственно сонаправлены, а LN=EF
. Тогда эти треугольники равны. Четырёхугольник BLOM
— параллелограмм, следовательно,
NF=LE=OM=R.
Что и требовалось доказать.