13536. Окружности C_{1}
и C_{2}
пересекаются в точках B
и C
. Окружность C_{2}
проходит через центр A
окружности C_{1}
. Хорда AD
окружности C_{2}
пересекает общую хорду BC
окружностей в точке E
. Прямые, проведённые через точки D
, касаются окружности C_{1}
в точках E
и G
. Докажите,что точки E
, F
и G
лежат на одной прямой.
Решение. Вписанные в окружность углы ACB
и ADB
опираются на одну и ту же дугу, а треугольник ACB
равнобедренный, поэтому
\angle ADB=\angle ACB=\angle ABC=\angle ABE.
Значит, треугольники ADB
и ABE
с общим углом при вершине A
подобны по двум углам. Тогда
\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}~\Rightarrow~AF^{2}=AB^{2}=AE\cdot AD.
Пусть FE'
— высота прямоугольного треугольника AFD
. Тогда (см. задачу 2728)
AE'=\frac{AF^{2}}{AD}=\frac{AE\cdot AD}{AD}=AE,
Значит, точки E
и E'
совпадают, и FE\perp AD
. Аналогично, GE\perp AD
. Следовательно, точки E
, F
и G
лежат на одной прямой.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1993, № 7, задача 1779 (238), с. 216