13538. На гипотенузе AB
прямоугольного треугольника ABC
взята точка D
. Точка M
— середина отрезка CD
. Оказалось, что \angle AMD=\angle BMD
. Докажите, что
\angle ACD:\angle BCD=\angle CDA:\angle CDB.
Решение. Через точку A
проведём прямую, параллельную CD
. Пусть она пересекает прямые BC
и BM
в точках P
и N
соответственно. Тогда AN=NP
(см. задачу 2607), а так как CN
— медиана прямоугольного треугольника ACP
, проведённая из вершины прямого угла, то CN=PN=NA
. Значит,
\angle ACM=\angle CAN=\angle NCA~\Rightarrow~\angle NCM=2\angle ACM.
Поскольку
\angle MAN=\angle AMD=\angle BMD=\angle MNA,
треугольник AMN
равнобедренный, MA=MN
. Треугольник MAD
равен треугольнику MNC
по двум сторонам и углу между ними, так как
MD=MC,~MA=MN,~\angle AMD=\angle BMD=\angle NMC.
Тогда
\angle CDA=\angle MDA=\angle MCN=2\angle ACM=2\angle ACD.
Значит,
\angle BDC=180^{\circ}-\angle CDA=2\left(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle CDA\right)=2(90^{\circ}-\angle ACD)=2\angle BCD.
Следовательно,
\frac{\angle CDA}{\angle BDC}=\frac{2\angle ACD}{2\angle BCD}=\frac{\angle ACD}{\angle BCD}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1994, № 1, задача 1812 (48), с. 20