13540. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность с центром O
. Прямые AD
и BC
пересекаются в точке P
. Точки L
и M
— середины сторон AD
и BC
соответственно. Точки Q
и F
— проекции точек соответственно O
и P
на прямую LM
. Докажите, что LQ=FM
.
Решение. Первый способ. Из точек L
и M
отрезок OP
виден под прямым углом (см. задачу 1677), значит, эти точки лежат на окружности \omega
с диаметром OP
и центром I
— середине отрезка OP
.
Пусть I'
— проекция точки O
на прямую LM
. Тогда I'
— середина проекции FQ
отрезка LM
на эту прямую (см. задачу 1939). В то же время, точка I'
— середина хорды LM
окружности \omega
. Отсюда следует утверждение задачи.
Второй способ. Пусть H
— ортоцентр треугольника LMP
(точка H
лежит на PF
). Тогда OM\parallel LH
и OL\parallel MH
, так как OM\perp BP
и OL\perp AP
. Значит, LOMH
— параллелограмм, поэтому OL=MH
и \angle HMF=\angle OLQ
. Треугольники HMF
и OLQ
равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, LQ=MR
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1994, № 2, задача 1829 (1993, с. 78), с. 59