13553. Пусть AP
— биссектриса треугольника ABC
, а Q
— точка на стороне BC
, причём BQ=CP
. Докажите, что AQ^{2}=AP^{2}-(AC-AB)^{2}
Решение. Обозначим AC=b
, AB=c
, AP=p
, AQ=q
, \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}
, \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{c}
, \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{p}
, \overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{q}
. Без ограничения общности считаем, что b\lt c
.
Пусть \lambda
— число, для которого
\overrightarrow{p}=\overrightarrow{b}+\lambda(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})=(1-\lambda)\overrightarrow{b}+\lambda\overrightarrow{c}.
Аналогично,
\overrightarrow{q}=\lambda\overrightarrow{b}+(1-\lambda)\overrightarrow{c},
так как BQ=CP
.
По свойству биссектрисы треугольника (см. задачу 1509)
\frac{\lambda}{1-\lambda}=\frac{CP}{PB}=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}~\Rightarrow~\lambda=\frac{b}{b+c}.
Тогда
AQ^{2}=\overrightarrow{q}^{2}=(\lambda\overrightarrow{b}+(1-\lambda)\overrightarrow{c})^{2}=\lambda^{2}b^{2}+(1-\lambda)^{2}c^{2}+2\lambda(1-\lambda)\overrightarrow{b}\overrightarrow{c},
AP^{2}=\overrightarrow{p}^{2}=(1-\lambda)^{2}b^{2}+\lambda^{2}c^{2}+2\lambda(1-\lambda)\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}.
Вычитая, получим
AQ^{2}-AP^{2}=(1-2\lambda)(c^{2}-b^{2})=\left(1-\frac{2b}{b+c}\right)(c^{2}-b^{2})=
=\frac{c-b}{b+c}(c^{2}-b^{2})=(c-b)^{2}=(AB-AC)^{2}.
Что и требовалось доказать.