13554. В треугольнике ABC
проведены биссектрисы BD
и CE
. Найдите углы треугольника ABC
, если \angle BDE=24^{\circ}
, \angle CED=18^{\circ}
.
Ответ. 96^{\circ}
, 12^{\circ}
, 72^{\circ}
.
Решение. Пусть I
— точка пересечения биссектрис треугольника ABC
, D'
— проекция точки I
на на прямую AC
. Обозначим \angle A=\alpha
, \angle B=\beta
, \angle C=\gamma
, r
— радиус вписанной окружности.
Тогда
\angle ADB=\frac{\beta}{2}+\gamma,~\angle AEC=\beta+\frac{\gamma}{2},
поэтому
ID=\frac{ID'}{\sin\angle ADB}=\frac{r}{\sin\left(\frac{\beta}{2}+\gamma\right)},IE=\frac{r}{\sin\left(\beta+\frac{\gamma}{2}\right)}.
По теореме синусов
\frac{\sin\left(\beta+\frac{\gamma}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\beta}{2}+\gamma\right)}=\frac{\frac{\sin\left(\beta+\frac{\gamma}{2}\right)}{AI}}{\frac{\sin\left(\frac{\beta}{2}+\gamma\right)}{AI}}=\frac{\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{IE}}{\frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{ID}}=\frac{ID}{IE}=\frac{\sin18^{\circ}}{\sin24^{\circ}}
Поскольку \angle BDE=24^{\circ}
и \angle CED=18^{\circ}
, то
\angle DIE=180^{\circ}-24^{\circ}-18^{\circ}=138^{\circ}=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 4770), откуда \alpha=96^{\circ}
. Тогда
\beta+\gamma=84^{\circ},\gamma=84^{\circ}-\beta,~\frac{\gamma}{2}=42^{\circ}-\frac{\beta}{2}.
Таким образом, получаем уравнение
\frac{\sin\left(42^{\circ}+\frac{\beta}{2}\right)}{\sin\left(84^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)}=\frac{\sin18^{\circ}}{\sin24^{\circ}}.
Применив формулы синуса суммы и разности, после очевидных упрощений получаем
\tg\frac{\beta}{2}=\frac{\sin18^{\circ}\sin84^{\circ}-\sin24^{\circ}\sin42^{\circ}}{\sin24^{\circ}\cos42^{\circ}+\sin18^{\circ}\cos84^{\circ}}.
Докажем, что правая часть этого равенства равна \tg6^{\circ}
. Действительно,
\frac{\sin18^{\circ}\sin84^{\circ}-\sin24^{\circ}\sin42^{\circ}}{\sin24^{\circ}\cos42^{\circ}+\sin18^{\circ}\cos84^{\circ}}=\frac{\sin6^{\circ}}{\cos6^{\circ}}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\sin18^{\circ}\sin84^{\circ}\cos6^{\circ}-\sin24^{\circ}\sin42^{\circ}\cos6^{\circ}=\sin24^{\circ}\cos42^{\circ}\sin6^{\circ}+\sin18^{\circ}\cos84^{\circ}\sin6^{\circ}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\sin18^{\circ}\sin^{2}-\sin24^{\circ}\sin42^{\circ}\cos6^{\circ}=\sin24^{\circ}\cos42^{\circ}\sin6^{\circ}+\sin18^{\circ}\sin^{2}6^{\circ}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\sin18^{\circ}(\cos^{2}6^{\circ}-\sin^{2}6^{\circ})=\sin24^{\circ}(\sin6^{\circ}\cos42^{\circ}+\cos6^{\circ}\sin42^{\circ})~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\sin18^{\circ}\cos12^{\circ}=\sin24^{\circ}\sin48^{\circ}~\Leftrightarrow~\sin18^{\circ}=2\sin12^{\circ}\sin48^{\circ}.~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\sin18^{\circ}=\cos36^{\circ}-\cos60^{\circ}~\Leftrightarrow~\sin18^{\circ}-2\sin^{2}18^{\circ}+\frac{1}{2}~\Leftrightarrow~\sin18^{\circ}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}.
Последнее равенство верно (см. задачу 1494), значит, \tg\frac{\beta}{2}=\tg6^{\circ}
, откуда \frac{\beta}{2}=6^{\circ}
. Следовательно, \beta=12^{\circ}
и \gamma=72^{\circ}
.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1995, № 2, задача 7, с. 50
Источник: Международная математическая олимпиада. — 1993