13566. Отрезки AC
и BD
пересекаются в точке P
, причём PA=PD
и PB=PC
. Точка O
— центр описанной окружности треугольника PAB
. Докажите, что прямые OP
и CD
перпендикулярны.
Решение. Треугольники PAB
и PDC
равны по двум сторонам и углу между ними. Обозначим \angle BAP=\angle CDP=\alpha
.
По крайней мере один из углов PAB
и PBA
острый. Без ограничения общности будем считать, что \angle BAP=\alpha\lt90^{\circ}
.
Пусть E
— точка пересечения прямых OP
и CD
. Поскольку O
— центр описанной окружности треугольника APB
, то OP=OB
и
\angle BOP=2\angle BAP=2\alpha.
Значит,
\angle DPE=\angle BPO=90^{\circ}-\alpha.
Следовательно,
\angle PDE=180^{\circ}-\angle DPE-\angle EDP=180^{\circ}-\angle DPE-\angle CDP=
=180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\alpha\right)-\alpha=90^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. Если точки A
, B
, C
, D
лежат на одной окружности и OP\perp CD
, получаем теорему Брахмагупты (см. задачу 369). Таким образом, доказанное утверждение есть обобщение этой теоремы.