13621. Стороны треугольника равны a
, b
и c
. Докажите, что
\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}\leqslant\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}.
В каком случае достигается равенство?
Ответ. Равенство достигается для равностороннего треугольника.
Решение. Пусть p=\frac{a+b+c}{2}
— полупериметр треугольника. Положим
x=p-a,~y=p-b,~z=p-c.
Тогда
a=y+z,~b=z+x,~c=x+y.
Из неравенства треугольника следует, что числа x
, y
и z
положительны (x=\frac{b+c-a}{2}\gt0
и т. д.).
Исходное неравенство равносильно неравенству
\sqrt{2x}+\sqrt{2y}+\sqrt{2z}\leqslant\sqrt{z+x}+\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}.
Среднее арифметическое двух положительных чисел не превосходит их среднего квадратичного (см. задачу 3399), поэтому
\sqrt{2x}+\sqrt{2y}+\sqrt{2z}=\frac{\sqrt{2x}+\sqrt{2y}}{2}+\frac{\sqrt{2y}+\sqrt{2z}}{2}+\frac{\sqrt{2z}+\sqrt{2x}}{2}\leqslant
\leqslant\sqrt{\frac{2x+2y}{2}}+\sqrt{\frac{2y+2z}{2}}+\sqrt{\frac{2z+2x}{2}}=\sqrt{z+x}+\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}.
Отсюда следует доказываемое неравенство.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда x=y=z
, т. е. тогда и только тогда, когда a=b=c
.