13626. В треугольнике проведены биссектрисы BE
и CF
и высоты BQ
и CR
. Оказалось, что точки E
, Q
, F
и R
лежат на окружности, касающейся BC
. Докажите, что треугольник ABC
равносторонний.
Решение. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
, \angle ACB=\gamma
. Тогда
AR=b\cos\alpha,~AQ=c\cos\alpha,~AF=\frac{cb}{a+b},~AE=\frac{bc}{a+c}.
Точки E
, Q
, F
и R
лежат на окружности, поэтому (см. задачу 2636)
AE\cdot AQ=AF\cdot AR,~\mbox{или}~\frac{bc}{a+c}\cdot c\cos\alpha=\frac{cb}{a+b}\cdot b\cos\alpha,
откуда получаем, что b=c
. Тогда \beta=\gamma
.
Пусть окружность касается стороны BC
в точке M
. Тогда
CM^{2}=CQ\cdot CE=a\cos\gamma\cdot\frac{ba}{a+c},
BM^{2}=BR\cdot BF=a\cos\beta\cdot\frac{ca}{a+b}=a\cos\gamma\cdot\frac{ba}{a+c}=CM^{2}.
Значит, M
— середина стороны BC
, и BM=CM=\frac{a}{2}
. Тогда
CQ\cdot CE=CM^{2}~\Rightarrow~a\cos\gamma\cdot\frac{ba}{a+c}=\frac{a^{2}}{4}~\Rightarrow
\Rightarrow~a\cos\gamma\cdot\frac{ca}{a+c}=\frac{a^{2}}{4}~\Rightarrow~\cos\gamma=\frac{a+c}{4c},
а так как треугольник равнобедренный, то
\cos\gamma=\frac{\frac{a}{2}}{c}=\frac{a}{2c}.
Значит,
\frac{a+c}{4c}=\frac{a}{2c},
откуда получаем, что a=c
. Следовательно, b=c=a
, т. е. треугольник ABC
равносторонний. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1999, № 6, задача 2360 (1998, с. 304), с. 374