13633. В треугольнике ABC
известно, что AB\gt AC
, M
— середина стороны BC
, D
— точка, симметричная точке M
относительно биссектрисы угла ABC
. Известно также, что точки A
, B
, C
и D
лежат на одной окружности. Найдите отношение \frac{AB-AC}{BC}
.
Ответ. \frac{1}{\sqrt{2}}
.
Решение. Пусть BK
— биссектриса треугольника ABC
. Поскольку \frac{KC}{AC}=\frac{KB}{AB}
и AB\gt AC
, то BK\gt KC
, и поэтому точка M
лежит на отрезке KB
. Тогда \angle KAM\lt\angle KAB
, поэтому
\angle KAD=\angle KAM\lt\angle KAB=\angle KAC.
Отсюда получаем, что точки D
и B
лежат по одну сторону от прямой AC
, а так как A
, B
, C
и D
лежат на одной окружности, то \angle CDA=\angle CBA
.
Кроме того,
\angle CAD=\angle CAK-\angle KAD=\angle BAK-\angle MAK=\angle BAM,
поэтому треугольники ACD
и AMB
подобны по двум углам. Тогда \frac{AB}{AD}=\frac{AM}{AC}
, а так как AD=AM
(из симметрии), то
AM^{2}=AD^{2}=AB\cdot AC.
По формуле для медианы (см. задачу 4014)
4AM^{2}=2AB^{2}+2AC^{2}-BC^{2},\mbox{или}~4AB\cdot AC=2AB^{2}+2AC^{2}-BC^{2},
откуда
BC^{2}=2AB^{2}+2AC^{2}-4AB\cdot AC=2(AB^{2}-AC^{2}).
Следовательно, учитывая, что AB\gt AC
, получим
\frac{AB-AC}{BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1999, № 8, задача 2373 (1998, с. 365), с. 511