13636. На диагонали BD
прямоугольника ABCD
отмечена произвольная точка P
. Точка F
— проекция точки P
на сторону BC
. Точка H
симметрична B
относительно точки F
. Прямые PC
и AH
пересекаются в точке Q
. Докажите, что треугольники APQ
и CHQ
равновелики.
Решение. Треугольник BPH
равнобедренный, поэтому
\angle PHB=\angle PBH=\angle DBC.
Значит, PH\parallel AC
. Тогда ACHP
— трапеция с основаниями AC
и HP
, а Q
— точка пересечения её диагоналей. Следовательно (см. задачу 3017), S_{\triangle APQ}=S_{\triangle CHQ}
. Что и требовалось доказать.